如何生成/计算十二面体的顶点？
如何在算法上生成十二面体的顶点？
我希望四面体的质心在(0, 0, 0) 。
由于这个问题现在是谷歌搜索的最佳结果（数学的重复是＃2），我想我也可以添加一些代码。
一个完整的控制台程序在下面，应该编译和运行，并且通常是不言自明的。
该算法基于维基百科文章 （谢谢你， mt_来自math.stackoverflow.com ）
此代码应为您打印正确的顶点列表。 你关注的主要是使用Program.MakeDodecahedron方法，但不要只是复制和粘贴它，因为你需要修改它来使用你自己的顶点数据结构而不是我的模拟Vertex对象。 您可以轻松使用XNA的Vector3 ，它具有与我的Vertex具有完全相同签名的构造函数。 另外因为我的Vertex.ToString方法很Vertex.ToString ，当与Vector3使用时，这个程序可能会打印一个丑陋的输出表，所以请记住这一点。
另请注意，这是一个（不完美）演示。 例如，如果生成许多四面体，您将不必要地重新计算每次调用的常量（例如黄金比例）。
使用XNA，特别是如果您使用Microsoft.Xna.Framework ，您还可以轻松地在3D中渲染十二面体。 您可以为此目的调整本教程中的代码。
using System; using System.Collections.Generic; namespace DodecahedronVertices { class Program { static void Main() { // Size parameter: This is distance of each vector from origin var r = Math.Sqrt(3); Console.WriteLine("Generating a dodecahedron with enclosing sphere radius: " + r); // Make the vertices var dodecahedron = MakeDodecahedron(r); // Print them out Console.WriteLine(" XYZ"); Console.WriteLine(" =========================="); for (var i = 0; i < dodecahedron.Count; i++) { var vertex = dodecahedron[i]; Console.WriteLine("{0,2}:" + vertex, i + 1); } Console.WriteLine("\nDone!"); Console.ReadLine(); } /// /// Generates a list of vertices (in arbitrary order) for a tetrahedron centered on the origin. /// /// The distance of each vertex from origin. /// MakeDodecahedron(double r) { // Calculate constants that will be used to generate vertices var phi = (float)(Math.Sqrt(5) - 1) / 2; // The golden ratio var a = 1 / Math.Sqrt(3); var b = a / phi; var c = a * phi; // Generate each vertex var vertices = new List (); foreach (var i in new[] { -1, 1 }) { foreach (var j in new[] { -1, 1 }) { vertices.Add(new Vertex( 0, i * c * r, j * b * r)); vertices.Add(new Vertex( i * c * r, j * b * r, 0)); vertices.Add(new Vertex( i * b * r, 0, j * c * r)); foreach (var k in new[] { -1, 1 }) vertices.Add(new Vertex( i * a * r, j * a * r, k * a * r)); } } return vertices; } } /// /// A placeholder class to store data on a point in space. Don't actually use this, write a better class (or just use Vector3 from XNA). /// class Vertex { double x; double y; double z; public Vertex(double x, double y, double z) { this.x = x; this.y = y; this.z = z; } public override string ToString() { var s = String.Format("{0,8:F2},{1,8:F2},{2,8:F2}", x, y, z); return s; } } }
由于我的代码可能非常冗长和分散，我建议在支持for循环和其他代码结构折叠的东西中读取它。
来自维基百科 ：
以下笛卡尔坐标定义了以原点为中心的十二面体的顶点，并且适当地缩放和定向：
（±1，±1，±1）
（0，±1 /φ，±φ）
（±1 /φ，±φ，0）
（±φ，0，±1 /φ）
其中φ=（1 +√5）/ 2是黄金比例（也写成τ）≈1.618。 边长为2 /φ=√5-1。包含球的半径为√3。
我发现这个描述比一大块C＃代码更简洁，更有用。 （ – ：
以P（0,0,0）为中心的十二面体的笛卡尔坐标和由半径为r的球体界定的顶点由下式给出：
P（±r /√3，±r /√3，±r /√3）
P（0，±r /（√3*φ），±（r *φ）/√3）
P（±r /（√3*φ），±（r *φ）/√3,0）
P（±（r *φ）/√3,0，±r /（√3*φ））
其中φ=（1 +√5）/ 2是黄金比例（也写成τ）≈1.618。
这是一个以0顶点为中心的黎曼表面立体投影。 （对不起，我找不到如何发布数学符号）
其中T是黄金比率，令a = 1 / T ^ 2并且让复共轭对b + -ic定义为b = sqrt（5）/ 4和c = sqrt（3）/ 4。 将这三个点旋转0度，120度和240度，这样你现在有9个点，全部在单位圆内。
使用地图z – > -1 / z将每个点映射到单位圆外的图像。 在零和无穷大处添加一个点，您现在拥有了十二面体的所有顶点。
如果你想在球体上使用十二面体，可以使用通常的立体背景图，使单位圆圈进入赤道。 通过刻录的通常过程，这也给你一个以顶点为中心的立方体或四面体，但分别旋转约37.76或22.24度。